Ο κώδικας Φιμπονάτσι και η σημασία του στην καθημερινότητα.

Ο Λεονάρντο της Πίζας (Σεπτέμβριος 1175 - 1240), γνωστός και ως Λεονάρντο Πιζάνο (Leonardo Pisano) ή Φιμπονάτσι (Fibonacci) ήταν Ιταλός μαθηματικός που έμεινε στην ιστορία για την περίφημη ακολουθία Φιμπονάτσι και για την εισαγωγή στην Ευρώπη του αραβικού δεκαδικού συστήματος αρίθμησης καθώς και άλλων μαθηματικών καινοτομιών σε μια σκοτεινή εποχή για τις επιστήμες στην Ευρώπη. 

Ήταν γιος του Γκιγιέρμο Μπονάτσι (Bonacci, που σημαίνει απλός), εξ ου και το παρώνυμό του Φιμπονάτσι (γιος του Μπονάτσι: φίλιους μπονάτσι). Ο ίδιος χρησιμοποιούσε μερικές φορές το όνομα Μπίγκολο που σήμαινε ταξιδιώτης. Γεννήθηκε στην Πίζα αλλά ακολούθησε τον πατέρα του που διορίστηκε σε διπλωματικό πόστο ως εκπρόσωπος των εμπόρων της Πίζας στη Βόρεια Αφρική. Έζησε στην πόλη Μπεχάια, λιμάνι στη σημερινή Αλγερία, στις εκβολές του ποταμού Γουάντι Σουμάμ κοντά στο όρος Γκουράια και στον κόλπο Καρμπόν. 

Εκεί εκπαιδεύτηκε σε σχολή λογιστικής, διδάχτηκε μαθηματικά και ταξίδεψε με τον πατέρα του γνωρίζοντας τα τεράστια προνόμια των αραβικών μαθηματικών συστημάτων.

Αυτά τα πρώτα του ταξίδια τελειώνουν γύρω στο 1200 και τότε επιστρέφει στην Πίζα όπου γράφει τα μαθηματικά κείμενα τα οποία είμαστε και τυχεροί να κατέχουμε καθώς την εποχή του δεν είχε εφευρεθεί η τυπογραφία. Το 1202 δημοσιεύει το liber abaci ή βιβλίο των υπολογισμών, γεμάτο με τις μαθηματικές γνώσεις που είχε περισυλλέξει στα ταξίδια του. Έδειχνε την πρακτικότητα του αραβικού αριθμητικού συστήματος στην τήρηση εμπορικών βιβλίων, στις χρηματικές συναλλαγές, τις μετατροπές των μέτρων και σταθμών, στον υπολογισμό των επιτοκίων και άλλες εφαρμογές. 

Το βιβλίο έτυχε θερμής υποδοχής ανάμεσα στους λογίους της Ευρώπης και τους επηρέασε σημαντικά αν και το σύστημα έγινε ευρέως γνωστό μετά την εφεύρεση της τυπογραφίας.

Ο αυτοκράτορας Φρειδερίκος Β΄ της Αγίας Ρωμαϊκής Αυτοκρατορίας ήταν σύμμαχος της Πολιτείας της Πίζας στον πόλεμό της κατά της Γένοβας και ενισχύθηκε τόσο πολύ η επιρροή του στην Ιταλία, που το 1224 ίδρυσε το Πανεπιστήμιο της Νάπολης για να αντλεί επιστήμονες και ανθρώπινο δυναμικό. Γνώρισε το έργο του Φιμπονάτσι μέσω των λογίων της 

αυλής του και ένας από αυτούς, ο Δομίνικος Ισπανός, φιλόσοφος της αυλής, του συνέστησε να συναντήσει τον Φιμπονάτσι στην επίσκεψη της αυλής στην Πίζα το 1225.

Ο Ιωάννης του Παλέρμο, ένα άλλο μέλος της αυλής του Φρειδερίκου Β΄, παρουσίασε στον Φιμπονάτσι έναν αριθμό προβλημάτων-προκλήσεων, τρία από τα οποία όντως έλυσε. 

Όμως στη συνέχεια τα ίχνη του χάνονται καθώς μετά το 1228 υπάρχει μόνο μια αναφορά του ονόματός του σε διασωθέντα κείμενα, σε ένα έγγραφο μισθοδοσίας του 1240 από την Πολιτεία της Πίζα.

"Η διάσημη ακολουθία''

Με τον όρο ακολουθία περιγράφεται ένα άπειρο σύνολο οργανωμένων αριθμών που ακολουθούν ένα συγκεκριμένο κανόνα σχηματισμού. Συνήθως αναπαρίστανται με το ίδιο γράμμα και κάτω δείκτες που δηλώνουν τη θέση τους:

Τα φυτά δε γνωρίζουν για την ακολουθία Fibonacci απλά μεγαλώνουν με τον πιο αποτελεσματικό τρόπο.

Αν μετρήσει κανείς τα πέταλα ενός λουλουδιού, θα διαπιστώσει ότι ο αριθμός τους είναι συχνά 3, 5, 8, 13, 21, 34 ή ακόμα και 55. Σπάνια θα συναντήσουμε λουλούδι με δύο πέταλα.

Υπάρχουν εκατοντάδες είδη, τόσο άγρια όσο και καλλιεργημένα με πέντε πέταλα.

Τα λουλούδια με οκτώ πέταλα δεν είναι τόσο κοινά όπως με τα πέντε, αλλά υπάρχουν αρκετά γνωστά είδη. Λουλούδια με δέκα τρία, είκοσι ένα και τριάντα τέσσερα πέταλα είναι επίσης αρκετά κοινά.

Μπορούμε να μετρήσουμε στις μαργαρίτες 13, 21, 34, 55, ή και 89 πέταλα. Οι κοινές μαργαρίτες του αγρού έχουν συνήθως 34 πέταλα γεγονός που σίγουρα επηρεάζει το αποτέλεσμα του παιχνιδιού «μ’ αγαπά δεν μ’ αγαπά». Ο κρίνος έχει τρία πέταλα, η νεραγκούλα έχει πέντε, κ.λ.π.

Οι σπόροι του ηλίανθου κατανέμονται κυκλικά. Η σπείρα είναι προς τα έξω ενώ έχει διπλή κατεύθυνση, δηλαδή και όπως κινούνται οι δείκτες του ρολογιού και αντίστροφα από το κέντρο του λουλουδιού. Ο αριθμός των σπειρών στο κάθε φυτό δεν είναι ίδιος. Γιατί γενικά είναι είτε 21 και 34, είτε 34 και 55, είτε 55 και 89, ή 89 και 144; Ο αριθμός των σπειρών ενός ηλίανθου και προς τις δύο κατευθύνσεις είναι δύο διαδοχικοί αριθμοί στην ακολουθία Fibonacci.

Όλα τα κουκουνάρια αναπτύσσονται σε σπείρες, ξεκινώντας από τη βάση όπου ήταν ο μίσχος, και πηγαίνοντας κυκλικά μέχρι να

φτάσουμε στην κορυφή.

Η ακολουθία Φιμπονάτσι εμφανίζεται στις βελόνες αρκετών ειδών έλατου, τα φύλλα της λεύκας, της κερασιάς, της μηλιάς, της δαμασκηνιάς, της βελανιδιάς και της φιλύρας, στη διάταξη των πετάλων της μαργαρίτας και του ηλιοτρόπιου.

Τη βλέπουμε στην επιφάνεια των κορμών των κωνοφόρων δέντρων και στους δακτυλίους των κορμών των φοινικόδεντρων.Κάτι αντίστοιχο συμβαίνει και με το χαμομήλι.Τα πέταλα που βρίσκονται στο κέντρο του λουλουδιού σχηματίζουν σπείρες, σύμφωνα με τη ακολουθία Φιμπονάτσι. Υπάρχουν 21 πιο σκούρες μπλε σπείρες και 13 σπείρες με τιρκουάζ χρώμα. Το 13 και το 21 είναι διαδοχικοί αριθμοί στην ακολουθία Fibonacci.

Το κέλυφος των σαλιγκαριών ακολουθεί και αυτό την ακολουθία Fibonacci. Το ίδιο και το κέλυφος του ναυτίλου (μαλάκιο). Η μόνη διαφορά μεταξύ των δύο είναι ότι το κέλυφος του ναυτίλου αναπτύσσεται σε τρισδιάστατες σπείρες, ενώ το κέλυφος των σαλιγκαριών αναπτύσσεται σε δισδιάστατες σπείρες.

Αυτή η έλικα Φιμπονάτσι που η αναλογία της είναι 1.618034 μπορεί να βρεθεί σε ένα ηλιοτρόπιο που τα ανθύλλια του σχηματίζουν τέλειες έλικες του 21, 34 και 55 της ακολουθίας Φιμπονάτσι. Αυτό επίσης ισχύει και για τον αριθμό των πετάλων ενός λουλουδιού, το κέλυφος του σαλιγκαριού, για τις ρίζες και τα κλαδιά των δέντρων και για πολλά άλλα. 

Η ακολουθία εφαρμόζεται στο σώμα του δελφινιού, στον αστερία και στο ανθρώπινο σώμα. Η αναλογία του μήκους του πήχη του χεριού προς το μήκος του χεριού ισούται με 1.618, δηλαδή ισούται με τη Χρυσή Αναλογία. Η αναλογία μεταξύ του μήκους και του φάρδους του προσώπου και η αναλογία του μήκους του στόματος προς το φάρδος της μύτης είναι μερικά ακόμα παραδείγματα της εφαρμογής των αριθμών αυτών στο ανθρώπινο σώμα.

Σίγουρα, αυτός ο συνδυασμός φύσης και μαθηματικών δεν είναι τυχαίος!! Άραγε, τα μαθηματικά αντιγράφουν τη φύση ή η φύση τα μαθηματικά;;

Η σειρά Fibonacci είναι η σειρά στην οποία ο κάθε αριθμός είναι το άθροισμα των δύο προηγουμένων της σειράς και είναι η 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, ...

Ο λόγος δυο διαδοχικών ζευγαριών της σειράς ονομάζεται χρυσή αναλογία και είναι ο φ=1.618033989…

Οι μαθηματικοί ανακάλυψαν τον αριθμό 1,618 στις πυραμίδες, σε ζωγραφικούς πίνακες, ακόμη και στη μουσική. «Μερικοί τον ανακάλυψαν στον Μότσαρτ και στον Μπετόβεν, αν και δεν γνωρίζουμε αν η ύπαρξή του στη μουσική τους ήταν φυσική ή ηθελημένη», λέει ο Ρον Νοτ, καθηγητής Μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο του Σάρεϊ.

Επιπλέον, τα κύματα που σχηματίζονται στην ακτή διαμορφώνουν μια έλικα που μπορεί να αποδοθεί με ένα μαθηματικό διάγραμμα στα σημεία 1,1,2,3,5,8,13,21,34 και 55.

Η χρυσή αναλογία έχει επίσης ενθουσιάσει τους πιο γνωστούς και έξυπνους ανθρώπους και όλοι μας έχουμε δει τον αντίκτυπο της στα έργα τους. Για παράδειγμα, η μελέτη του Πλάτωνα για την τέλεια ή χρυσή αναλογία χρησιμοποιήθηκε στον σχεδιασμό και την κατασκευή του Παρθενώνα. Οι Αιγύπτιοι την χρησιμοποίησαν για να φτιάξουν τις πυραμίδες. Η Παναγία των Παρισίων χτίστηκε και αυτή σύμφωνα με αυτόν τον μαθηματικό νόμο.

Καλλιτέχνες όπως ο Λεονάρντο Ντα Βίντσι και ο Σαλβαδόρ Νταλί ενσωμάτωσαν την χρυσή αναλογία στους πίνακες τους. Ακόμα, η Χρυσή αναλογία μπορεί να βρεθεί και σε μουσικά έργα του Μπαχ, του Σοπέν, του Μπετόβεν και του Μότσαρτ.

Αλλά το πιο εκπληκτικό παράδειγμα αυτής της χρυσής αναλογίας μπορεί να εντοπιστεί μέσα στον εαυτό μας καθώς εφαρμόζεται και στο DNA μας. Καθώς το DNA μας περιέχει διπλούς έλικες, η σύνθεση ενός μορίου DNA γίνεται σε αρμονία σύμφωνα με αυτή τη χρυσή αναλογία.

Μπορούμε να δούμε αυτό το θεϊκό αποτύπωμα παντού γύρω μας όπως και μέσα μας αλλά το πιο σημαντικό παράδειγμα βρίσκεται ακριβώς πάνω από το κεφάλι μας. Ακόμα και οι έλικες των γαλαξιών έχουν σχεδιαστεί με το ίδιο μοτίβο που διαμορφώθηκε το κέλυφος ενός μικρού σαλιγκαριού.

Επομένως, είναι αυτή η ακολουθία η απόδειξη πως τα πάντα σε αυτό το σύμπαν έχουν σχεδιαστεί από έναν δημιουργό;

Επίσης μπορείτε στη σημερινή εποχή, να την συναντήσετε σε τραγούδια. Ένα από αυτά είναι το “Laterus” των ΤΟΟL.

https://youtu.be/Y7JG63IuaWs

Η παρουσία της μαθηματικής ακολουθίας Fibonacci στο ομότιτλο κομμάτι του δίσκου, σχηματίζεται από το συνεχόμενο άθροισμα των δύο προηγούμενων αριθμών, ξεκινώντας από το 0 και το 1.

Δηλαδή: [0 + 1 =] 1, [1 + 1 =] 2, [1 + 2 =] 3, [2 + 3 =] 5 κοκ. Με βάση αυτή τη λογική σχηματίστηκαν οι συγχορδίες του κομματιού, με βάση αυτή τη λογική ερμηνεύονται και οι στίχοι του Maynard, τονίζοντας ρυθμικά τις συλλαβές των λέξεων.

Το ρεφρέν του κομματιού ακολουθεί, κατά σειρά, τα ρυθμικά μέτρα 9/8, 8/8, 7/8, κάτι που έδωσε τροφή στον Danny Carey να μοιραστεί μαζι μας το εξαιρετικό fun fact ότι ο αριθμός 987 είναι ο 16ος αριθμός στην ακολουθία Fibonacci.

Στιχουργικά, το εν λόγω κομμάτι δεν θα μπορούσε να είναι λιγότερο περίπλοκο: μια αλληλουχία από μαθηματικά easter eggs (τα οποία δεν θα αναλύσουμε εδώ) επενδύει τον κύριο θεματικό άξονα, το ότι η οποιαδήποτε υπερανάλυση οδηγεί εν τέλει στην απώλεια του ελέγχου και ότι θα έπρεπε να αποδεχόμαστε περισσότερο το «τυχαίο».

Επίσης, όλοι έχουμε δει την ταινία «κώδικας Ντα Βίντσι» που βασίζεται στο ομώνυμο βιβλίο του Νταν Μπράουν.Στο πρώτο πλάνο της ταινίας ο έφορος ενός μουσείου πεθαίνοντας γράφει στο δάπεδο με το αίμα του τους αριθμούς 13,3,2,21,1,1,8 και 5 ,οι ήρωες της ταινίας καλούνται να αποκρυπτογραφήσουν τους αριθμούς και να διαπιστώσουν ότι  πρόκειται για όρους της ακολουθίας Fibonacci.Ίσως πρόκειται για την διασημότερη ακολουθία  στην ιστορία των μαθηματικών. 

Ακόμη πολλοί χρησιμοποιούν το κώδικα Φιμπονάτσι στα τυχερά παιχνίδια όπου πολλοί έχουν καταφέρει να "σπάσουν" τον αλγόριθμο και να κερδίσουν εκατομμύρια ευρώ. 

©Κωνσταντίνα Βαβάση για το Bookaholic Thoughts Fever ®